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AcWing524 - 愤怒的小鸟

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。   

简单来说,这款游戏是在一个平面上进行的。 

有一架弹弓位于 (0,0) 处,每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟, 小鸟们的飞行轨迹均为形如 y=ax2+bx 的曲线,其中 a,b 是 Kiana 指定的参数,且必须满足 a<0。

当小鸟落回地面(即 x 轴)时,它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里,平面的第一象限中有 n 只绿色的小猪,其中第 i 只小猪所在的坐标为 (xi,yi)。 

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 (xi,yi),那么第 i 只小猪就会被消灭掉,同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行; 

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 (xi,yi),那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 i 只小猪产生任何影响。 

例如,若两只小猪分别位于 (1,3) 和 (3,3),Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 y=−x2+4x 的小鸟,这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。 

而这个游戏的目的,就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。 

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难,所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令,使得自己能更轻松地完成这个这个游戏。   

这些指令将在输入格式中详述。 

假设这款游戏一共有 T 个关卡,现在 Kiana 想知道,对于每一个关卡,至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。  

由于她不会算,所以希望由你告诉她。

注意:本题除 NOIP 原数据外,还包含加强数据。

输入格式

第一行包含一个正整数 T,表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 T 个关卡的信息。

每个关卡第一行包含两个非负整数 n,m,分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。

接下来的 n 行中,第 i 行包含两个正实数 (xi,yi),表示第 i 只小猪坐标为 (xi,yi),数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 m=0,表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。

如果 m=1,则这个关卡将会满足:至多用 ⌈n/3+1⌉ 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 m=2,则这个关卡将会满足:一定存在一种最优解,其中有一只小鸟消灭了至少 ⌊n/3⌋ 只小猪。

保证 1≤n≤18,0≤m≤2,0<xi,yi<10,输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中,符号 ⌈c⌉ 和 ⌊c⌋ 分别表示对 c 向上取整和向下取整,例如 :⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。

输出格式

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数,表示相应的关卡中,消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

数据范围

QQ截图20210311115727.png

输入样例:

1
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3
4
5
6
7
8
9
10
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

输出样例:

1
2
1
1

重复覆盖问题,可以使用Dancing Links,但状压DP更加好写

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66
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<double, double> PDD;
const int N = 20, M = 1 << 18;
const double eps = 1e-6;

int n, m;
PDD q[N];
int path[N][N];
int f[M];

int cmp(double x, double y) {
  if (fabs(x - y) < eps) return 0;
  if (x < y) return -1;
  return 1;
}

int main() {
  int T;
  cin >> T;
  while (T--) {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> q[i].x >> q[i].y;
    
    memset(path, 0, sizeof path);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      path[i][i] = 1 << i;
      for (int j = 0; j < n; j++) {
        double x1 = q[i].x, y1 = q[i].y;
        double x2 = q[j].x, y2 = q[j].y;
        if (!cmp(x1, x2)) continue;
        double a = (y1 / x1 - y2 / x2) / (x1 - x2);
        if (a >= 0) continue;
        double b = y1 / x1 - a * x1;
        int state = 0;
        for (int k = 0; k < n; k++) {
          double x = q[k].x, y = q[k].y;
          if (!cmp(a * x * x + b * x, y)) state += 1 << k;
        }
        path[i][j] = state;
      }
    }
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0;
    for (int i = 0; i + 1 < 1 << n; i++) {
      int x = 0;
      for (int j = 0; j < n; j++) 
        if (!(i >> j & 1)) {
          x = j;
          break;
        }
      for (int j = 0; j < n; j++) 
        f[i | path[x][j]] = min(f[i | path[x][j]], f[i] + 1);
    }
    
    cout << f[(1 << n) - 1] << endl;
  }
  
  return 0;
}
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