AcWing321 - 棋盘分割

将一个 8×8 的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了 (n−1) 次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有 n 块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。

现在需要把棋盘按上述规则分割成 n 块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。

均方差 ，其中平均值 ，xi 为第 i 块矩形棋盘的总分。

请编程对给出的棋盘及 n，求出均方差的最小值。

输入格式

第 1 行为一个整数 n。

第 2 行至第 9 行每行为 8 个小于 100 的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

输出格式

输出最小均方差值（四舍五入精确到小数点后三位）。

数据范围

1<n<15

输入样例：

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

输出样例：

1.633

---

f[x1, y1, x2, y2, k]：将子矩阵（x1, y1)(x2, y2) 切分成k部分的所有方案

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 15, M = 9;
const double INF = 1e9;

int n, m = 8;
int s[N][N];
double f[M][M][M][M][N];
double X;

double get(int x1, int y1, int x2, int y2) {
  double sum = s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] - X;
  return sum * sum / n;
}

double dp(int x1, int y1, int x2, int y2, int k) {
  double &v = f[x1][y1][x2][y2][k];
  if (v >= 0) return v;
  if (k == 1) return v = get(x1, y1, x2, y2);
  
  v = INF;
  for (int i = x1; i < x2; i++) {
    v = min(v, dp(x1, y1, i, y2, k - 1) + get(i + 1, y1, x2, y2));
    v = min(v, dp(i + 1, y1, x2, y2, k - 1) + get(x1, y1, i, y2));
  }
  for (int i = y1; i < y2; i++) {
    v = min(v, dp(x1, y1, x2, i, k - 1) + get(x1, i + 1, x2, y2));
    v = min(v, dp(x1, i + 1, x2, y2, k - 1) + get(x1, y1, x2, i));
  }
  
  return v;
}

int main() {
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= m; i++) 
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      cin >> s[i][j];
      s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
    }
  
  memset(f, -1, sizeof f);
  X = static_cast<double>(s[m][m]) / n;
  
  printf("%.3lf\n", sqrt(dp(1, 1, 8, 8, n)));
  
  return 0;
}